Ujian Kenaikan Kelas (UKK) merupakan momen penting bagi setiap siswa untuk mengevaluasi pemahaman mereka terhadap materi yang telah dipelajari sepanjang semester genap. Bagi siswa Kelas 10 Kurikulum 2013, mata pelajaran Matematika seringkali menjadi tantangan tersendiri. Penguasaan konsep-konsep penting yang telah diajarkan, mulai dari fungsi, trigonometri, hingga program linear, sangat krusial untuk meraih hasil yang optimal.
Artikel ini hadir untuk membantu Anda mempersiapkan diri menghadapi UKK Matematika Kelas 10 Semester 2. Kami akan menyajikan berbagai contoh soal yang mencakup berbagai topik esensial, disertai dengan pembahasan mendalam. Tujuannya adalah agar Anda tidak hanya menghafal rumus, tetapi juga memahami logika di balik setiap penyelesaian, sehingga Anda dapat menjawab soal serupa dengan percaya diri.
Memahami Ruang Lingkup Materi UKK Matematika Kelas 10 Semester 2 (K13)
Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita ingat kembali topik-topik utama yang umumnya diujikan dalam UKK Matematika Kelas 10 Semester 2 berdasarkan Kurikulum 2013. Materi ini biasanya mencakup:
- Fungsi: Konsep dasar fungsi, domain, kodomain, range, jenis-jenis fungsi (injektif, surjektif, bijektif), operasi pada fungsi, komposisi fungsi, dan fungsi invers.
- Trigonometri: Rasio trigonometri pada segitiga siku-siku, identitas trigonometri dasar, grafik fungsi trigonometri, serta aplikasi trigonometri dalam pemecahan masalah.
- Program Linear: Sistem pertidaksamaan linear dua variabel, menentukan daerah penyelesaian, serta menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari fungsi objektif menggunakan metode grafik atau substitusi/eliminasi.
Memahami cakupan materi ini akan membantu Anda dalam memfokuskan strategi belajar. Mari kita mulai dengan contoh soalnya.
Contoh Soal UKK Matematika Kelas 10 Semester 2 dan Pembahasan Mendalam
Berikut adalah beberapa contoh soal yang dirancang untuk menguji pemahaman Anda pada topik-topik di atas.
Soal 1: Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Diberikan fungsi $f(x) = 2x + 1$ dan $g(x) = fracx-3x+2$.
a. Tentukan $(f circ g)(x)$ dan tentukan domainnya.
b. Tentukan $f^-1(x)$ dan $g^-1(x)$.
c. Hitung nilai dari $(f circ g)^-1(5)$.
Pembahasan:
a. Menentukan $(f circ g)(x)$ dan domainnya
Komposisi fungsi $(f circ g)(x)$ berarti kita mensubstitusikan fungsi $g(x)$ ke dalam fungsi $f(x)$.
$(f circ g)(x) = f(g(x))$
$= fleft(fracx-3x+2right)$
$= 2left(fracx-3x+2right) + 1$
$= frac2(x-3)x+2 + fracx+2x+2$
$= frac2x – 6 + x + 2x+2$
$= frac3x – 4x+2$
Untuk menentukan domain dari $(f circ g)(x)$, kita perlu mempertimbangkan domain dari $g(x)$ dan syarat agar hasil komposisinya terdefinisi.
Domain dari $g(x) = fracx-3x+2$ adalah semua bilangan real kecuali nilai $x$ yang membuat penyebutnya nol. Jadi, $x+2 neq 0 implies x neq -2$.
Selanjutnya, hasil dari $(f circ g)(x)$ adalah $frac3x-4x+2$. Bentuk ini juga memiliki syarat bahwa penyebutnya tidak boleh nol, yaitu $x+2 neq 0 implies x neq -2$.
Jadi, domain dari $(f circ g)(x)$ adalah $x $.
b. Menentukan $f^-1(x)$ dan $g^-1(x)$
-
Mencari $f^-1(x)$:
Misalkan $y = f(x)$, maka $y = 2x + 1$.
Untuk mencari invers, tukar variabel $x$ dan $y$, lalu selesaikan untuk $y$.
$x = 2y + 1$
$x – 1 = 2y$
$y = fracx-12$
Jadi, $f^-1(x) = fracx-12$. -
Mencari $g^-1(x)$:
Misalkan $y = g(x)$, maka $y = fracx-3x+2$.
Tukar variabel $x$ dan $y$:
$x = fracy-3y+2$
$x(y+2) = y-3$
$xy + 2x = y – 3$
$xy – y = -2x – 3$
$y(x-1) = -2x – 3$
$y = frac-2x-3x-1$
Jadi, $g^-1(x) = frac-2x-3x-1$.
c. Menghitung nilai dari $(f circ g)^-1(5)$
Kita dapat menghitung ini dengan dua cara:
Cara 1: Mencari invers dari $(f circ g)(x)$ terlebih dahulu, lalu mensubstitusikan nilai 5.
Cara 2: Menggunakan sifat $(f circ g)^-1(x) = (g^-1 circ f^-1)(x)$.
Mari kita gunakan Cara 2 karena kita sudah memiliki $f^-1(x)$ dan $g^-1(x)$.
$(f circ g)^-1(5) = (g^-1 circ f^-1)(5)$
$= g^-1(f^-1(5))$
Pertama, hitung $f^-1(5)$:
$f^-1(5) = frac5-12 = frac42 = 2$.
Selanjutnya, hitung $g^-1(2)$:
$g^-1(2) = frac-2(2)-32-1 = frac-4-31 = -7$.
Jadi, $(f circ g)^-1(5) = -7$.
(Alternatif Cara 1: Mencari $(f circ g)^-1(x)$)
Misalkan $y = (f circ g)(x) = frac3x-4x+2$.
Tukar variabel $x$ dan $y$:
$x = frac3y-4y+2$
$x(y+2) = 3y-4$
$xy + 2x = 3y – 4$
$xy – 3y = -2x – 4$
$y(x-3) = -2x – 4$
$y = frac-2x-4x-3$
Jadi, $(f circ g)^-1(x) = frac-2x-4x-3$.
Sekarang, substitusikan $x=5$:
$(f circ g)^-1(5) = frac-2(5)-45-3 = frac-10-42 = frac-142 = -7$.
Hasilnya sama.
Soal 2: Trigonometri – Identitas dan Persamaan
Diberikan sebuah segitiga siku-siku $ABC$ dengan sudut siku-siku di $B$. Jika $AB = 8$ cm dan $BC = 6$ cm.
a. Hitung panjang $AC$.
b. Tentukan nilai $sin A$, $cos A$, dan $tan A$.
c. Jika diketahui $sin x = frac12$ dan $x$ berada di kuadran I, tentukan nilai dari $cos x$ dan $tan x$.
d. Buktikan identitas trigonometri berikut: $fracsin^2 x1 – cos x = 1 + cos x$.
Pembahasan:
a. Menghitung panjang $AC$
Menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $ABC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 8^2 + 6^2$
$AC^2 = 64 + 36$
$AC^2 = 100$
$AC = sqrt100 = 10$ cm.
b. Menentukan nilai $sin A$, $cos A$, dan $tan A$
Dalam segitiga siku-siku $ABC$:
Sisi di depan sudut $A$ adalah $BC = 6$.
Sisi di samping sudut $A$ adalah $AB = 8$.
Sisi miring (hipotenusa) adalah $AC = 10$.
- $sin A = fractextsisi depantextsisi miring = fracBCAC = frac610 = frac35$
- $cos A = fractextsisi sampingtextsisi miring = fracABAC = frac810 = frac45$
- $tan A = fractextsisi depantextsisi samping = fracBCAB = frac68 = frac34$
c. Menentukan nilai $cos x$ dan $tan x$ jika $sin x = frac12$ dan $x$ di kuadran I
Kita tahu identitas dasar trigonometri: $sin^2 x + cos^2 x = 1$.
Diketahui $sin x = frac12$.
$left(frac12right)^2 + cos^2 x = 1$
$frac14 + cos^2 x = 1$
$cos^2 x = 1 – frac14$
$cos^2 x = frac34$
$cos x = pm sqrtfrac34 = pm fracsqrt32$
Karena $x$ berada di kuadran I, nilai $cos x$ adalah positif.
Jadi, $cos x = fracsqrt32$.
Sekarang, tentukan $tan x$:
$tan x = fracsin xcos x = frac1/2sqrt3/2 = frac1sqrt3$
Untuk merasionalkan penyebutnya, kalikan dengan $fracsqrt3sqrt3$:
$tan x = frac1sqrt3 times fracsqrt3sqrt3 = fracsqrt33$.
d. Membuktikan identitas trigonometri $fracsin^2 x1 – cos x = 1 + cos x$
Kita akan membuktikan identitas ini dengan mengubah salah satu ruas menjadi ruas yang lain. Mari kita ubah ruas kiri.
Ruas Kiri: $fracsin^2 x1 – cos x$
Kita gunakan identitas $sin^2 x = 1 – cos^2 x$.
$= frac1 – cos^2 x1 – cos x$
Perhatikan bahwa $1 – cos^2 x$ adalah bentuk selisih dua kuadrat, yaitu $(1-cos x)(1+cos x)$.
$= frac(1 – cos x)(1 + cos x)1 – cos x$
Kita bisa mencoret $(1 – cos x)$ di pembilang dan penyebut, dengan syarat $1 – cos x neq 0$ (atau $cos x neq 1$).
$= 1 + cos x$
Ini sama dengan Ruas Kanan.
Jadi, terbukti bahwa $fracsin^2 x1 – cos x = 1 + cos x$.
Soal 3: Program Linear – Menentukan Nilai Optimum
Seorang pedagang menjual dua jenis buah, yaitu apel dan jeruk. Untuk pembelian, ia membutuhkan modal Rp10.000 per kg untuk apel dan Rp7.000 per kg untuk jeruk. Keuntungan yang diperoleh dari penjualan apel adalah Rp3.000 per kg dan dari jeruk adalah Rp2.000 per kg. Modal yang tersedia adalah Rp2.100.000. Pedagang tersebut hanya dapat menampung paling banyak 240 kg buah. Buatlah model matematika dari permasalahan ini, tentukan daerah penyelesaiannya, dan hitunglah keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang tersebut.
Pembahasan:
1. Membuat Model Matematika
Misalkan:
$x$ = jumlah apel yang dibeli (dalam kg)
$y$ = jumlah jeruk yang dibeli (dalam kg)
-
Kendala Modal:
Modal untuk apel: $10.000x$
Modal untuk jeruk: $7.000y$
Total modal yang tersedia: Rp2.100.000
Maka pertidaksamaannya adalah: $10.000x + 7.000y leq 2.100.000$.
Disederhanakan dengan membagi 1.000: $10x + 7y leq 2.100$. -
Kendala Kapasitas Penampungan:
Jumlah total buah yang dapat ditampung adalah 240 kg.
Maka pertidaksamaannya adalah: $x + y leq 240$. -
Kendala Non-Negatif:
Jumlah apel dan jeruk tidak mungkin negatif.
$x geq 0$
$y geq 0$ -
Fungsi Objektif (Keuntungan):
Keuntungan dari apel: Rp3.000 per kg, jadi $3.000x$.
Keuntungan dari jeruk: Rp2.000 per kg, jadi $2.000y$.
Fungsi keuntungan yang akan dimaksimalkan adalah $Z = 3.000x + 2.000y$.
Jadi, model matematikanya adalah:
Memaksimumkan $Z = 3.000x + 2.000y$
Dengan kendala:
- $10x + 7y leq 2.100$
- $x + y leq 240$
- $x geq 0$
- $y geq 0$
2. Menentukan Daerah Penyelesaian
Kita akan menggambar garis-garis dari persamaan yang bersesuaian dengan pertidaksamaan:
Garis 1: $10x + 7y = 2.100$
Jika $x = 0$, maka $7y = 2.100 implies y = 300$. Titik (0, 300).
Jika $y = 0$, maka $10x = 2.100 implies x = 210$. Titik (210, 0).
Garis 2: $x + y = 240$
Jika $x = 0$, maka $y = 240$. Titik (0, 240).
Jika $y = 0$, maka $x = 240$. Titik (240, 0).
Karena kendala $x geq 0$ dan $y geq 0$, daerah penyelesaian berada di kuadran I.
Kita perlu menentukan titik potong antara garis $10x + 7y = 2.100$ dan $x + y = 240$.
Dari $x + y = 240$, kita peroleh $y = 240 – x$.
Substitusikan ke persamaan pertama:
$10x + 7(240 – x) = 2.100$
$10x + 1.680 – 7x = 2.100$
$3x = 2.100 – 1.680$
$3x = 420$
$x = 140$
Substitusikan nilai $x=140$ ke $y = 240 – x$:
$y = 240 – 140 = 100$.
Titik potongnya adalah (140, 100).
Titik-titik sudut daerah penyelesaian adalah:
- Titik O (0, 0)
- Titik A (210, 0) (dari $10x + 7y leq 2.100$)
- Titik B (140, 100) (titik potong)
- Titik C (0, 240) (dari $x + y leq 240$)
(Catatan: Titik (0, 300) dan (240, 0) bukan merupakan titik sudut dari daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan. Kita perlu mengambil irisan dari daerah kedua pertidaksamaan. Untuk $10x+7y le 2100$, titik (0,240) dan (210,0) memenuhi. Untuk $x+y le 240$, titik (0,300) dan (240,0) memenuhi. Daerah yang memenuhi keduanya adalah di bawah kedua garis. Titik sudutnya adalah (0,0), (210,0), (140,100), dan (0,240).)
3. Menghitung Keuntungan Maksimum
Substitusikan koordinat titik-titik sudut ke dalam fungsi objektif $Z = 3.000x + 2.000y$:
-
Di titik O (0, 0):
$Z = 3.000(0) + 2.000(0) = 0$ -
Di titik A (210, 0):
$Z = 3.000(210) + 2.000(0) = 630.000 + 0 = 630.000$ -
Di titik B (140, 100):
$Z = 3.000(140) + 2.000(100) = 420.000 + 200.000 = 620.000$ -
Di titik C (0, 240):
$Z = 3.000(0) + 2.000(240) = 0 + 480.000 = 480.000$
Nilai keuntungan maksimum adalah Rp630.000 yang diperoleh jika pedagang membeli 210 kg apel dan 0 kg jeruk.
Tips Tambahan untuk Persiapan UKK
- Pahami Konsep Dasar: Jangan hanya menghafal rumus. Pastikan Anda memahami mengapa rumus tersebut berlaku dan bagaimana konsepnya bekerja.
- Latihan Soal Bervariasi: Kerjakan berbagai macam soal, dari yang mudah hingga yang menantang. Ini akan membantu Anda mengenali pola soal dan cara penyelesaiannya.
- Buat Ringkasan Materi: Catat poin-poin penting, rumus-rumus kunci, dan contoh-contoh soal yang sulit untuk dijadikan bahan review.
- Kerjakan Latihan Soal dari Buku Paket dan Sumber Lain: Manfaatkan buku paket, lembar kerja siswa (LKS), dan sumber belajar online yang relevan.
- Diskusi dengan Teman atau Guru: Jika ada materi atau soal yang sulit dipahami, jangan ragu untuk bertanya dan berdiskusi dengan teman sebangku, teman sekelas, atau guru Matematika Anda.
- Simulasikan Ujian: Cobalah mengerjakan soal-soal latihan dalam batas waktu tertentu seolah-olah Anda sedang mengikuti ujian sebenarnya. Ini membantu meningkatkan kecepatan dan ketepatan.
- Jaga Kesehatan: Pastikan Anda cukup istirahat, makan makanan bergizi, dan tetap rileks menjelang hari ujian.
Penutup
UKK Matematika Kelas 10 Semester 2 mungkin terasa berat, namun dengan persiapan yang matang dan strategi belajar yang tepat, Anda pasti bisa menghadapinya dengan percaya diri. Contoh soal dan pembahasan yang telah disajikan di atas diharapkan dapat menjadi bekal berharga dalam proses belajar Anda. Ingatlah, konsistensi dalam berlatih adalah kunci utama untuk menguasai matematika. Selamat belajar dan semoga sukses dalam UKK Anda!
Leave a Reply